Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1900
i

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 28 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 56 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть  дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби =a, тогда

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 28 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 56 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка .

Раз­де­лим обе части не­ра­вен­ства на 28a > 0, по­лу­чим:

2 в сте­пе­ни a плюс 1 мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a

За­ме­тим, что левая часть мо­но­тон­но воз­рас­та­ем на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния, а пра­вая мо­но­тон­но убы­ва­ет. Сле­до­ва­тель­но, при a  =  0 левая и пра­вая части не­ра­вен­ства равны, зна­чит, не­ра­вен­ство верно при a мень­ше или равно 0. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 7 мень­ше x мень­ше или равно 5.

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние равно −6, а ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства  — 12. Про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства равно −72.

 

Ответ: −72.


Аналоги к заданию № 1900: 1932 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2022
Сложность: III
Классификатор алгебры: 4\.8\. По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства дру­гих типов
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной, Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов